扬州大学转专业考试·高等数学（理工类）备考讲义

适用对象：报考扬州大学理工类专业方向、参加转专业数学考试、且数学基础薄弱或久未接触的考生。 讲义定位：本讲义是一份"知识讲解型"讲义——讲清每个概念"是什么、怎么用、容易错在哪里"，不是题库说明、也不是题型归纳。题库与刷题请在平台另行进行；理 1-5 真题卷以"考点速查表"形式附于第六部分，供自测后定位薄弱点。 使用建议：先按章节顺序通读，遇到公式不要跳，先盖住自己推一遍；读完一章合上讲义，凭目录回忆这一章"讲了几件什么事、各自的判定条件是什么"。然后再去做题巩固。

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〇、导学：本讲义怎么用

0.1 一句话告诉你"高等数学（理工类）考什么"

整门课只研究一件事——一元函数的变化规律。理工类与经管类同一条主线，但多走一步到积分：

函数（研究对象）→ 极限（"逼近"工具）→ 连续（"不抖"的函数）→ 导数（瞬时变化率）→ 中值定理与导数应用（整体性态）→ 不定积分（求导的逆运算）→ 定积分与反常积分（"求和"，理工真题特色）

把这七块按顺序学会，整张理工考卷的知识骨架就有了。

0.2 官方考纲边界：考什么、不考什么（先读这一节，别把时间花在超纲内容上）

扬大转专业数学考试的官方考纲范围，理工类为：

一元函数微分学 ＋ 一元函数积分学

"一元函数积分学"是完整的积分学——既包括不定积分（第四章），也包括定积分、变限积分、反常积分（第五章）。所以第五章不是"拓展补充"，而是考纲正文，必须学、必须练。

⚠️ 以下内容不在考纲内，遇到可以直接跳过，不必花时间：

不考内容	常见误区
多元函数微分学（偏导数、全微分、极值）	网传旧版考纲含"多元微分 10 分"，已不适用
二重积分、三重积分	同上，属旧版口径
无穷级数（敛散判别、幂级数展开）	旧版曾作为选做题出现
常微分方程	同上
空间解析几何与向量代数	与"一元"无关
线性代数（行列式、矩阵）	旧版曾作为选做题出现

📌 一句话记住：只考一个自变量、一条主线：函数 → 极限 → 连续 → 导数 → 中值定理与导数应用 → 不定积分 → 定积分（含变限、反常）。凡是出现第二个变量（$y$、$z$）或第二个积分号（$\iint$）的，都不是考纲内容。

⚠️ 关于旧资料：网上流传的部分"扬大转专业数学考纲"是早年（2019 级）版本，含多元微分、二重积分、级数/线代选做等内容，与现行考纲不一致。请以上一节的官方口径为准，避免照旧版复习做无用功。

0.3 理工卷与经管卷的三个不同点（重要）

差异点	经管卷	理工卷	对你的影响
积分学到哪一步	一元函数微分学 ＋ 不定积分（考纲到不定积分为止）	一元函数微分学 ＋ 一元函数积分学（含定积分、变限积分、反常积分）	必须学第五章，不可跳过
证明题数量	较少	多（零点定理 + 罗尔/拉格朗日/柯西中值定理为主）	3.8 节证明方法要重点掌握
卷面结构	—	理 1-5 真题卷为"单选 5 + 填空 5 + 计算 10 + 证明 1"完整卷面	计算要"手稳"，过程要写全

0.4 知识地图（五章骨架 + 真题速查）

章节	核心问题	关键概念	关键技能
第一章 函数、极限与连续	怎么用"逼近"描述函数？什么函数"连续"？	函数 / 极限 / 无穷小 / 连续 / 间断点 / 闭区间性质	求定义域、算极限、判连续与间断点
第二章 导数与微分	怎么度量"瞬时变化"？	导数 / 微分 / 链式 / 隐函数 / 参数方程 / 高阶导数	会求各种函数的导数
第三章 中值定理与导数应用	已知导数能反推原函数什么？	罗尔/拉格朗日/柯西 / 洛必达 / 单调 / 极值 / 凹凸 / 拐点 / 渐近线	画函数草图、写证明三步式
第四章 不定积分	已知"变化率"怎么还原函数？	原函数 / 基本积分表 / 凑微分 / 第二换元 / 分部积分	看题会"望闻问切"选对方法
第五章 定积分·变限·反常（考纲正文）	怎么"求和"？怎么由积分上限函数反推？	定积分 / 牛顿-莱布尼茨 / 换元 / 分部 / 变限积分求导 / 反常积分 / 几何应用	定积分计算、变限求导、反常敛散判断、面积与体积
第六部分 真题考点速查	五套真题考了什么？	理 1-5 五卷 × 21 题"考点-答案"表	限时自测后定位薄弱卷/薄弱章

0.5 零基础学生的阅读路径

如果你离开高中数学已有一段时间，建议按下面的顺序读本讲义，不要跳读：

1. 先花 1~2 小时只读第一章 1.1 节"函数"——把"定义域/值域/奇偶性/复合函数/反函数"过一遍，磨刀不误砍柴工。这部分不读懂，后面看什么都像天书。
2. 第 1.2~1.4 节（数列极限/函数极限/无穷小）：本讲义最慢的部分。每天读 1 小节，把"两个重要极限"和"常用等价无穷小表"抄两遍。
3. 第 1.5~1.6 节（连续/闭区间性质）：概念为主，记忆量大。读完后用本节"易错清单"自测。
4. 第 2 章：第一遍只读"导数概念"和"基本求导公式表"。求导的套路都在那张表上，表背熟，题会做一半。
5. 第 3 章：中值定理三个定理先各画一张图理解几何意义，再记条件与结论。洛必达"验型-求导-再看型"三步走。理工证明题多，3.8 节请读两遍。
6. 第 4 章：积分是求导的逆运算，每学一个积分公式，立即求导验算。这是学积分最稳的习惯。
7. 第 5 章：定积分是理工类考纲的正式内容（不是选学）。先理解"曲边梯形面积"（几何意义），再记牛顿-莱布尼茨公式把定积分化为不定积分——你会发现第 4 章没白学。本章的变限积分求导与反常积分判敛是理工卷的高频得分点，务必练熟。

0.6 符号与记号约定

• $\ln x$ 表示自然对数（以 $\mathrm{e}$ 为底），$\lg x$ 表示常用对数（以 10 为底）。
• $\mathrm{e}\approx 2.71828$，是 $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n$ 的值。
• $\arcsin x$、$\arccos x$、$\arctan x$、$\mathrm{arccot}\,x$ 分别表示反正弦、反余弦、反正切、反余切函数。
• $f'(x_0)$、$f_-'(x_0)$、$f_+'(x_0)$ 分别表示在 $x_0$ 处的导数、左导数、右导数。
• 不定积分结果中一律写 "$+C$"（$C$ 为任意常数）；定积分、反常积分结果为具体数值时不写 $+C$。
• 区间记号：$[a,b]$ 表示含端点，$(a,b)$ 表示不含端点，$(-\infty,+\infty)$ 表示全体实数。

0.7 本讲义的标记符号

• ★：核心公式或定理，必须背熟。
• ⚠️：易错提示，考试高频失分点。
• 📌：辨析提示，与相邻概念对比防混淆。
• 💡：几何直观或口诀，辅助记忆。

0.8 配套题库怎么刷（与讲义的对应关系）

本讲义是"讲"，配套题库是"练"。题库共 941 题，分两部分：

部分	题量	是什么	怎么刷
精选题	782	按考点分层的正题，含理 1-5 真题卷 105 题	跟着讲义章节进度刷，一章读完立刻刷对应章节
基础过关	159	第四章不定积分的机械套路训练（如 $\int(2x+1)^2\mathrm{d}x$、$\int\sin 9x\,\mathrm{d}x$ 这类"换数字"题）	只在你连基本积分表都记不熟时才刷；刷到能稳定做对即可，不必刷完

📌 为什么把基础过关单列：这 159 题的作用是"把手练熟"，不是"把脑子练会"。它们重复度高、套路单一，刷太多会给你一种"我都会了"的错觉，但考试真正拉分的是精选题里的综合题。所以建议：先刷 20~30 道建立手感，然后立刻回到精选题。

按考纲划分的题量分布（供自查是否偏科）：

考纲模块	精选题	对应讲义
一元函数微分学	587	第一～三章
一元函数积分学	194（含第五章新增 146 题）	第四～五章
考纲外（仅 1 题，已标注）	1	可忽略

⚠️ 第五章曾是最大的练习缺口：改版前定积分类题目只有 26 道、且全部散落在真题卷里，没有章节练习。现已新增第 5 章专项 146 题（题号 796–941），覆盖牛顿-莱布尼茨基本计算、变限积分、换元、分部、概念性质、反常积分、分段与绝对值积分、几何应用八个板块。刷完第五章精选题，才算补齐了"一元函数积分学"的完整训练。

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第一章我们将正式进入"极限"——这是整门课的第一个拦路虎，跨过去后面就顺了。

第一章　函数、极限与连续

本章目标：建立"用极限描述变化"的基本语言。三个核心概念——函数（研究对象）、极限（逼近工具）、连续（不间断性质）。 本章在理工卷中的位置：真题卷中约三分之一题量属于本章（概念辨析单选 + 极限计算填空）；理工卷的极限计算明显多于经管卷，含参极限、分段点"连续但不可导"等分类讨论是理工特色。 学习提示：本章是本讲义最慢的一章，请参照导学 0.4 节阅读路径安排节奏。

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1.1 函数

1.1.1 函数是什么

直观理解：函数就是一个"输入-输出机器"。你给它一个数 $x$，它按固定的规则吐出唯一一个数 $y$，记作 $y=f(x)$。

严格定义：设 $D$ 是一个非空实数集合，若存在对应法则 $f$，使得对每个 $x\in D$ 都对应唯一一个实数 $y$，则称 $f$ 是定义在 $D$ 上的函数，记作

$D$ 称为定义域，$R=\{f(x)\mid x\in D\}$ 称为值域。

两个要素：

• 定义域 $D$（输入的合法范围）；
• 对应法则 $f$（怎么把 $x$ 变成 $y$）。

只要这两个要素定了，函数就定了——与字母用什么无关（如 $f(x)$ 与 $f(t)$ 表示同一对应法则，只是自变量记号不同）。

1.1.2 定义域的求法

初等函数的定义域由各种"禁区"决定，把所有限制取交集：

函数结构	限制条件
分式 $\dfrac{1}{g(x)}$	$g(x)\neq 0$
偶次根式 $\sqrt[2n]{g(x)}$	$g(x)\ge 0$
对数 $\log_a g(x)$	$g(x)>0$（底数还要 $a>0,a\neq 1$）
反正弦/反余弦 $\arcsin g(x),\ \arccos g(x)$	$-1\le g(x)\le 1$
正切 $\tan g(x)$	$g(x)\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi$；正割 $\sec$、余割 $\csc$ 同理
反正切 $\arctan g(x)$、反余切 $\mathrm{arccot}\,g(x)$	无限制（对任何实数都有意义）

两类常错：

• ⚠️ 根号在分母上时，必须取"$>0$"而不能取"$\ge 0$"（分母不能为 0）。
• ⚠️ 偶次根号取"$\ge 0$"，奇次根号对所有实数都有意义。

例 1　求 $f(x)=\sqrt{4-x^2}+\ln(x+1)$ 的定义域。 解：① $4-x^2\ge 0$ 得 $-2\le x\le 2$；② $x+1>0$ 得 $x>-1$。取交集：$-1<x\le 2$，定义域 $(-1,2]$。

1.1.3 复合函数与定义域

复合函数：若 $y=f(u)$，$u=g(x)$，且 $g(x)$ 的值域落在 $f$ 的定义域内，则 $y=f[g(x)]$ 是复合函数。外层是 $f$，内层是 $g$。

复合函数求定义域：先求 $g$ 的值域，再令其落在 $f$ 的定义域内，解出 $x$。

例 2　设 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$，求 $f(x^2)$ 的定义域。 解：需 $0\le x^2\le 1$，即 $|x|\le 1$，定义域 $[-1,1]$。

1.1.4 函数的奇偶性

• 奇函数：$f(-x)=-f(x)$，图像关于原点对称。典型：$x^3$、$\sin x$、$\tan x$、$\arcsin x$、$\arctan x$。
• 偶函数：$f(-x)=f(x)$，图像关于 $y$ 轴对称。典型：$x^2$、$\cos x$、$|x|$。
• 非奇非偶：上述两条都不满足。

判定三步：

1. 看定义域是否关于原点对称——不对称则必为非奇非偶；
2. 算 $f(-x)$；
3. 与 $f(x)$ 比较，看是相等、相反、还是其他。

📌 运算规律：奇 ± 奇 = 奇；偶 ± 偶 = 偶；奇 × 奇 = 偶；奇 × 偶 = 奇；偶 × 偶 = 偶。常数按偶函数处理。

📌 理工高频"对勾型"奇函数：$f(x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ 是奇函数。理由：

$$f(-x)=\ln\left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)=\ln\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}=-\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)=-f(x)$$

关键观察：$x+\sqrt{1+x^2}$ 与 $\sqrt{1+x^2}-x$ 互为倒数。这类"对数 + 根式"结构在理工真题反复出现（函数奇偶性判断、反函数等），务必记住。

1.1.5 函数的单调性

设 $I$ 是区间，若对任意 $x_1<x_2\in I$：

• $f(x_1)<f(x_2)$：$f$ 在 $I$ 上单调递增；
• $f(x_1)>f(x_2)$：$f$ 在 $I$ 上单调递减。

1.1.6 函数的周期性

若存在常数 $T\neq 0$ 使 $f(x+T)=f(x)$ 对所有 $x$ 成立，则 $f$ 为周期函数，$T$ 为一个周期。最小的正周期称为最小正周期。

1.1.7 反函数

设 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$，值域为 $R$。若对每个 $y\in R$，$D$ 中有唯一的 $x$ 使 $f(x)=y$，则 $f$ 存在反函数 $x=f^{-1}(y)$，习惯上仍写成 $y=f^{-1}(x)$。

反函数存在的条件：$f$ 在定义域上一一对应（单调是其充分条件）。几何性质：$y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 的图像关于 $y=x$ 对称。

例 3　求 $y=\dfrac{2x+1}{x-1}\ (x\neq1)$ 的反函数。 解：$y(x-1)=2x+1 \Rightarrow yx-y=2x+1 \Rightarrow x(y-2)=y+1 \Rightarrow x=\dfrac{y+1}{y-2}$。交换 $x,y$：反函数 $y=\dfrac{x+1}{x-2}$。

1.1.8 基本初等函数（六大类）

基本初等函数是构成所有初等函数的"积木"，共六类：

类别	形式	例子
常数函数	$y=C$	$y=3$
幂函数	$y=x^\mu$	$x$、$x^2$、$x^{1/2}$、$x^{-1}$
指数函数	$y=a^x\ (a>0,a\neq1)$	$\mathrm{e}^x$、$2^x$
对数函数	$y=\log_a x\ (a>0,a\neq1)$	$\ln x$、$\lg x$
三角函数	$\sin x$、$\cos x$、$\tan x$、$\cot x$、$\sec x$、$\csc x$	—
反三角函数	$\arcsin x$、$\arccos x$、$\arctan x$、$\mathrm{arccot}\,x$	—

初等函数 = 基本初等函数经有限次四则运算与复合得到的函数。

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1.2 数列的极限

1.2.1 数列与极限的直观

数列：按自然数顺序排成一列的数 $x_1,x_2,x_3,\cdots$，简记为 $\{x_n\}$。

极限的直观：当 $n$ 越来越大时，$x_n$ 越来越"逼近"某个常数 $a$。比如 $\{1/n\}$ 越来越逼近 0，$\{(-1)^n/n\}$ 越来越逼近 0，$\{\sin n\}$ 没有极限（不逼近任何数）。

记法：

此时称数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$；否则称数列发散。

1.2.2 收敛数列的性质

1. 极限唯一：若收敛，极限值必唯一。
2. 有界性：收敛数列必有界（有极限 ⇒ 有界；反之不真，如 $1,0,1,0,\cdots$ 有界但不收敛）。
3. 保号性：若 $\lim x_n=a>0$（或 $a<0$），则从某项起 $x_n>0$（或 $x_n<0$）。

1.2.3 极限的四则运算法则

设 $\lim x_n=a$，$\lim y_n=b$，则：

⚠️ 使用前提：各极限都存在（除法还要求分母极限 $\neq 0$）。"$\infty-\infty$""$0\cdot\infty$""$\dfrac00$""$\dfrac{\infty}{\infty}$"等未定式不能直接套。

1.2.4 几个基本极限（直接使用）

例 4　求 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{2n^2+n-1}{3n^2-n+5}$。 解：分子分母同除以 $n^2$（最高次幂），得 $\lim\dfrac{2+\frac1n-\frac1{n^2}}{3-\frac1n+\frac5{n^2}}=\dfrac{2}{3}$。 💡 口诀：分子分母都除以 $n$ 的"最高次幂"，"抓大头"。

1.2.5 ★ 夹逼准则（迫敛性）

定理：若从某项起有 $y_n\le x_n\le z_n$，且 $\lim y_n=\lim z_n=a$，则 $\lim x_n=a$。

适用场景：和式中含 $n$ 项、每项趋于 0（"$n$ 个无穷小之和"），无法用四则运算直接算时，用"最小项 × $n$ ≤ 和式 ≤ 最大项 × $n$"放缩后夹逼。

例 5　求 $\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)$。 解：$n$ 项和的最大项是 $\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}}$，最小项是 $\dfrac{1}{\sqrt{n^2+n}}$，故

$$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le S_n\le\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$$

两端极限均为 $1$（用 1.2.4 抓大头），故原式 $=1$。

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1.3 函数的极限

1.3.1 自变量的两种趋近方式

$x\to x_0$（点极限）：$x$ 趋近于有限数 $x_0$。

• 左极限 $f(x_0^-)=\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$：$x$ 从左侧趋近；
• 右极限 $f(x_0^+)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$：$x$ 从右侧趋近。

$x\to\infty$（无穷极限）：$|x|$ 无限增大。又分 $x\to+\infty$（只往右走）与 $x\to-\infty$（只往左走）。

1.3.2 ★ 极限存在的充要条件（分段点必用）

口诀：左极限 = 右极限 = 极限值。只要左右不相等，极限就不存在。

1.3.3 函数极限的四则运算

与数列相同。前提：参与运算的各极限都存在（除法还要求分母极限 $\neq 0$）。

1.3.4 ★ 两个重要极限

重要极限一：

一般形式：若 $\varphi(x)\to 0$，则 $\lim\dfrac{\sin[\varphi(x)]}{\varphi(x)}=1$。即"$\sin(\square)$ 与 $\square$ 之比、且 $\square\to 0$"。

⚠️ 必须是 $\sin(\square)$ 与同一个 $\square$ 之比，且 $\square\to 0$，三者缺一不可。

例 6　求 $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{x}$。 解：凑"$\square\to 0$"：$\dfrac{\sin 3x}{x}=3\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x}\to 3\cdot 1=3$。

重要极限二：

一般形式：$\lim(1+\square)^{1/\square}=\mathrm{e}$（$\square\to 0$），或 $\lim(1+1/\square)^\square=\mathrm{e}$（$\square\to\infty$）。

特征：这是 $1^\infty$ 型未定式——底数是"$1$ + 无穷小"，指数是其倒数。

例 7　求 $\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^x$。 解：令 $t=\dfrac{x}{2}$，原式 $=\left[\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^t\right]^2\to\mathrm{e}^2$。

1.3.5 极限计算方法总览

极限类型	处理方法
代入型（$\lim_{x\to x_0}$，$x_0$ 在定义域内）	直接代入 $f(x_0)$
$\dfrac{0}{0}$（因式）	约去公因式
$\dfrac{0}{0}$（根式）	分子分母有理化
$\dfrac{\infty}{\infty}$	抓大头：分子分母同除以 $x$ 的最高次幂
$\dfrac{\sin\square}{\square}$	重要极限一
$1^\infty$	重要极限二
乘除因子中的 $0$ 或 $\infty$	等价无穷小替换（见 1.4）
难处理的 $\dfrac{0}{0}$、$\dfrac{\infty}{\infty}$	洛必达法则（见 3.2）

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1.4 无穷小、无穷大与无穷小的比较

1.4.1 无穷小

定义：极限为 0 的量（变量或函数）称为无穷小。例如 $x\to 0$ 时，$x$、$x^2$、$\sin x$、$\ln(1+x)$ 都是无穷小。

等价刻画：$\lim f(x)=A$ 的充要条件是 $f(x)=A+\alpha(x)$，其中 $\alpha(x)$ 为无穷小。

运算法则：

• 有限个无穷小之和（差、积）仍为无穷小；
• 有界函数与无穷小之积仍为无穷小；
• 常数与无穷小之积仍为无穷小（常数 $C\neq 0$ 时仍是同阶无穷小）。

例 8　求 $\lim_{x\to 0}x\sin\dfrac{1}{x}$。 解：$x\to 0$ 是无穷小，$\sin\dfrac1x$ 有界（$|\sin|\le 1$），故乘积 $\to 0$。

1.4.2 无穷大

定义：$\lim f(x)=\infty$（或 $+\infty$、$-\infty$）的量称为无穷大。注意：无穷大不是数，是"绝对值无限增大"的变化趋势。

关系：同一过程中，无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大（分母不恒为 0）。

1.4.3 无穷小的阶

设 $\alpha,\beta$ 都是 $x\to x_0$（或 $x\to\infty$）时的无穷小，看 $\lim\dfrac{\beta}{\alpha}=l$：

条件	结论
$l=0$	$\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记 $\beta=o(\alpha)$
$l=\infty$	$\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小
$l=C\neq 0$	$\beta$ 与 $\alpha$ 同阶无穷小
$l=1$	$\beta$ 与 $\alpha$ 等价无穷小，记 $\beta\sim\alpha$
$\lim\dfrac{\beta}{\alpha^k}=C\neq 0$	$\beta$ 是 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小

1.4.4 ★ 常用等价无穷小表（$x\to 0$）——必须背熟

等价关系	等价关系
$\sin x\sim x$	$\tan x\sim x$
$\arcsin x\sim x$	$\arctan x\sim x$
$\ln(1+x)\sim x$	$\mathrm{e}^x-1\sim x$
$a^x-1\sim x\ln a$	$(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x$
$1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}$	$\sqrt[n]{1+x}-1\sim\dfrac{x}{n}$

使用规则（重要）：

• ✓ 乘除因子可整体替换（最常用、最安全）；
• ✗ 加减项不能直接换（除非换后不与其余项抵消；保险起见加减不换，改用泰勒或洛必达）。

例 9　求 $\lim_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\sin 3x}$。 解：$\mathrm{e}^{2x}-1\sim 2x$，$\sin 3x\sim 3x$，原式 $\to\dfrac{2x}{3x}=\dfrac{2}{3}$。

1.4.5 等价无穷小替换的"加减陷阱"

⚠️ 典型错例：求 $\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}$。 错：把 $\tan x\sim x$、$\sin x\sim x$ 同时替换，得 $0$。错了——因为加减项被替换后相互抵消了。

正解：用泰勒展开：$\tan x=x+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$，$\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$，故

原式 $=\dfrac{1}{2}$。

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1.5 函数的连续性与间断点

1.5.1 连续的定义

$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，三条件同时满足：

1. $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义（$x_0\in D$）；
2. $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在；
3. $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。

等价定义：$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$，即 $\lim\limits_{\Delta x\to 0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$。

左连续 / 右连续：

• 左连续：$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)$；
• 右连续：$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$。

⚠️ 分段函数在分段点处的连续性，要分别验证左连续和右连续——分两步，不能只算一个方向的极限。

例 10　设 $f(x)=\begin{cases}x+1,&x<1\\ a,&x=1\\ 2x,&x>1\end{cases}$ 在 $x=1$ 处连续，求 $a$。 解：$\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=2$，$\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=2$，由连续性 $a=f(1)=2$。

1.5.2 间断点的分类

$f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续，称 $x_0$ 为 $f$ 的间断点。按左右极限情况分两类：

第一类间断点（左右极限都存在）：

• 可去间断点：左右极限相等（极限存在），但极限 ≠ 函数值或函数在 $x_0$ 无定义；
• 跳跃间断点：左右极限都存在但不相等。

第二类间断点（至少一侧极限不存在）：

• 无穷间断点：至少一侧极限为 $\infty$（例如 $y=\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$）；
• 振荡间断点：至少一侧极限不存在且非无穷（$y=\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$）。

💡 记忆口诀：极限存在但"对不上"= 可去；极限"跳开"= 跳跃；"炸开 / 振荡"= 第二类。

例 11　判断 $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 处的间断点类型。 解：$x=1$ 处无定义，但 $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim(x+1)=2$ 存在 → 可去间断点（补上 $f(1)=2$ 即连续）。

例 12　判断 $f(x)=\begin{cases}x,&x<0\\ x+1,&x\ge 0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处的间断点类型。 解：$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=0$，$\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=1$，左右极限存在但不相等 → 跳跃间断点。

例 13　判断 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处的间断点类型。 解：$x\to 0$ 时 $|f(x)|\to\infty$，至少一侧极限为 $\infty$ → 无穷间断点（第二类）。

1.5.3 初等函数的连续性

定理：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

推论（求极限的利器）：若 $f$ 是初等函数且 $x_0$ 在定义区间内，则

——直接代入即可，不用任何技巧。

1.5.4 理工真题模型：$x^\alpha\sin\dfrac{1}{x}$ 型在 $x=0$ 的连续性与可导性

设 $f(x)=\begin{cases}x^\alpha\sin\dfrac{1}{x},&x\neq 0\\[4pt] 0,&x=0\end{cases}$，这是理工卷反复出现的分类讨论模型，结论按 $\alpha$ 分三档：

$\alpha$ 的范围	在 $x=0$ 处	理由
$\alpha>0$	连续	$x^\alpha\to 0$ 是无穷小，$\sin\dfrac{1}{x}$ 有界，乘积 $\to 0=f(0)$
$\alpha>1$	连续且可导	$\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=x^{\alpha-1}\sin\dfrac{1}{x}$ 极限存在（$\alpha-1>0$）为 $0$
$\alpha\le 0$	不连续（振荡/无界）	$x^\alpha$ 无界或极限不存在

💡 记法：$\alpha>1$ 可导（导数 $f'(0)=0$）；$0<\alpha\le1$ 连续但不可导；$\alpha\le0$ 连极限都不存在。

示范讨论　$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac{1}{x},&x\neq0\\ 0,&x=0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处的连续性与可导性？ 解：$\alpha=2>1$ → 在 $x=0$ 处连续且可导，$f'(0)=0$。 📌 对比：$y=|x|$ 在 $0$ 连续但不可导；$y=x^2\sin\dfrac1x$ 在 $0$ 却可导——"光滑程度"由趋于 0 的快慢决定。

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1.6 闭区间上连续函数的性质

设 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则下列性质成立：

性质	结论	用途
有界性	$f$ 在 $[a,b]$ 上有界	证明题铺垫
最值定理	$f$ 在 $[a,b]$ 上能取到最大值 $M$ 与最小值 $m$	求最值
介值定理	对介于 $m,M$ 之间的任何 $\mu$，必存在 $\xi\in[a,b]$，使 $f(\xi)=\mu$	证明题
★ 零点定理	若 $f(a)\cdot f(b)<0$（端点异号），则必存在 $\xi\in(a,b)$，使 $f(\xi)=0$	证明方程有根

📌 零点定理用途：证明"$f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内有实根"。证明步骤四步：① 移项令 $F(x)$；② 说明 $F$ 在 $[a,b]$ 连续；③ 算 $F(a)\cdot F(b)<0$；④ 由零点定理得 $\xi\in(a,b)$，$F(\xi)=0$。

例 14　证明方程 $x^3-3x+1=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。 证：令 $F(x)=x^3-3x+1$。$F$ 在 $[0,1]$ 连续；$F(0)=1>0$，$F(1)=1-3+1=-1<0$；$F(0)\cdot F(1)<0$。由零点定理，$\exists\xi\in(0,1)$ 使 $F(\xi)=0$。$\blacksquare$

例 15　证明方程 $x^3-3x+1=0$ 在 $(0,1)$ 内有且仅有一个实根。 证：

• 存在性：同例 14。
• 唯一性：$F'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)<0$ 在 $(0,1)$ 内恒成立，故 $F$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，至多一个零点。 综上，方程在 $(0,1)$ 内有且仅有一个实根。$\blacksquare$

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1.7 本章易错清单

#	易错点	正确理解
1	求定义域时根号下取"$\ge 0$"	偶次根式取 $\ge 0$；若同时在分母上，则必须 $>0$
2	复合函数 $f(g(x))$ 的定义域用 $g$ 的定义域	应该是 $g(x)$ 的值域落在 $f$ 的定义域内
3	奇偶性先看 $f(-x)$ 不看定义域	必须先验证定义域关于原点对称
4	求数列极限先想"通项公式"再算	$\dfrac{0}{0}$、$\dfrac{\infty}{\infty}$ 不能直接代入
5	重要极限一写成 $\lim\dfrac{\sin x}{x}=1$ 后用错	必须是 $\sin(\square)$ 与同一个 $\square$ 之比，$\square\to 0$
6	重要极限二写成 $1^\infty=1$	$1^\infty$ 是未定式，不是 1
7	等价替换用在加减项	替换后若与其他项抵消，结果错；保险做法：乘除项才换
8	分段函数在分段点只算一侧极限	必须左右两侧都算
9	间断点分类只看极限存不存在	第一类 / 第二类的分界是"左右极限是否都存在"
10	零点定理写成"导数零点"	零点定理是函数值零点，用来证方程有根；中值定理才是导数零点

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第一章是整门课的语言基础。第二章我们引入"导数"——这是把"极限"思想用到函数局部变化率上的第一个大成果。